1978年高考数学真题，考查三角恒等变换，全班学生差点全军覆没
1978年高考数学真题，考查三角恒等变换，全班学生差点全军覆没
大家好！本文和大家分享一道1978年高考数学真题。这是1978年高考数学试卷副题的第6题，本题考查的是三角恒等变换的知识，而很多学生看到题目后完全没有思路，全班学生差点就全军覆没了。下面我们一起来看一下这道题。
这道题为什么难呢？按照学生的说法就是，题目中出现的字母太多，不知道应该怎么进行变化，那么我们先看一下题干中的两个关系式和要证明的结论。对比后我们可以发现，要证明的结论中没有了三角函数，也就是说我们需要通过两个已知关系式来消去其中的三角函数。那么，怎么消呢？下面介绍两种解法。
解法一：齐次化
由asinx+bcosx=0可得，tanx=-b/a。接下来我们求出sin2x和cos2x的表达式，并代入②式。怎么求sin2x和cos2x的值呢？我们可以用齐次化的方法求解。
由二倍角公式可得sin2x=2sinxcosx，然后我们将其分母看成“1”，再用同角三角函数的平方关系进行变换，接着再分子分母同时除以(cosx)^2。即sin2x=2sincosx=2sinxcosx/[(sinx)^2+(cosx)^2]=2tanx/[(tanx)^2+1]=-2ab/(a^2+b^2)。
同样的方法，我们可以得到cos2x=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)。然后将sin2x和cos2x的表达式代入②，去掉分母即可得到结论。
解法二：辅助角公式
我们观察一下①式，可以发现等式左边出现了“同角异名”的形式，而这种情况下我们就可以用辅助角公式进行变换。通过辅助角公式变换后，我们就能够将这两个异名函数变为同名的函数。这样就能方便我们后续的处理。
由asinx+bcosx=0及辅助角公式可得：√(a^2+b^2)sin(x+φ)=0，其中sinφ=b/√(a^2+b^2)，cosφ=a/√(a^2+b^2)，且sin(x+φ)=0，即x+φ=kπ，故x=kπ-φ。
所以sin2x=sin2(kπ-φ)=sin(2kπ-2φ)=sin(-2φ)=-sin2φ=-2sinφcosφ=-2ab/(a^2+b^2)。同理可得：cos2x=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)，代入②式，即可证明出结论。
这道题就和大家分享到这里，你觉得这道题难吗？
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